Le Paraboloïde Hyperbolique : Quand la ligne droite crée la courbe

Cette surface a l’air courbée, mais elle est entièrement composée de droites !

Dans mon moteur de ray tracing, cette surface est définie de manière implicite. L'ensemble des points de la surface est défini par l'équation implicite : $$\{(x, y, z) \in \R^3 | x^2-y^2-z=0\}$$ Trouver l'impact d'un rayon lumineux revient à résoudre l'équation $f(O+tD)=0$ où $O$ est l'origine du rayon et $D$ sa direction.

Je parle bien entendu du célèbre paraboloïde hyperbolique. Nous allons étudier son aspect le plus fascinant : sa nature de surface réglée, et voir comment l'origami permet de lui donner vie.

Définition : En géométrie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe une droite (appelée génératrice) contenue dans la surface.

Le paraboloïde hyperbolique est un cas d'école : c'est l'exemple le plus simple de surface doublement réglée : par tout point passent deux droites.

Ces deux familles sont en fait les seules droites entièrement contenues dans la surface (je laisserai la démonstration en exercice).

On peut partir de l'équation implicite : $$x^2-y^2-z=0 \Rightarrow (x-y)(x+y) -z = 0$$ En posant $u = x+y$ et $v = x-y$ on obtient $z = uv$. On peut alors exprimer x et y en fonction de u et v : $$x = \frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2}$$ L'ensemble des points de la surface est donc aussi défini par : $$\left\{\left(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}, uv\right)| u \in \R, v\in \R \right \}$$

En fixant $u = u_0$, nous voyons que cela devient affine en $v$ : $$\frac{1}{2}\left(u_0, u_0, 0\right)+\frac{v}{2}\left(1, -1, 2u_0 \right)$$ Pareillement en fixant $v=v_0$, on obtient une écriture affine en $u$ : $$\frac{1}{2}\left(v_0, v_0, 0\right)+\frac{u}{2}\left(1, 1, 2v_0 \right)$$ On obtient donc deux familles de droites affines dont l’union reconstruit exactement le paraboloïde hyperbolique.

Si l'on prend une droite dans le plan $(x,y)$ définie par $y=x−a$, regardons ce que cela donne pour $z$, avec une paramétrisation par $t$ : donc $x=t$, $y=t−a$ et $$z =t^2 - (t-a)^2 = 2at-a^2$$ On obtient donc le point $$(x, y, z) = (t, t-a, 2at-a^2)$$ Ici encore, pour un $a$ fixé, $z$ dépend linéairement de $t$. C'est une droite affine qui "grimpe" sur la selle. On peut symétriquement faire $x=t$, $y=-t-a$ pour obtenir une nouvelle famille de droites, qui descendra sur la selle.

La géométrie différentielle nous confirme cette forme :

• Le gradient : $ \nabla f = (2x, -2y, -1)$
• La matrice hessienne a pour valeurs propres $2$ et $-2$.

Le signe opposé des courbures principales, positive dans une direction, négative dans l'autre, est la signature géométrique de la double réglure. La structure en deux familles de droites explique la géométrie locale de la surface, notamment la façon dont elle “se plie” dans deux directions opposées.

Cette propriété est exploitée en architecture (toits en selle) et en design, car elle permet de construire des surfaces courbes à partir d’éléments rectilignes.

L’origami exploite directement cette propriété : en pliant uniquement des lignes droites, on peut créer l’illusion d’une surface courbe. Chaque droite correspond à un pli et chaque pli une droite. Il y a deux familles, donc deux directions de plis.

Voici rapidement les différentes étapes de la construction si vous souhaitez le reproduire chez vous :

L'origami est un loisir, mais aussi une branche de la géométrie. Les axiomes de Huzita-Hatori définissent ce qu'il est possible de construire en pliant. Le 6e axiome est particulièrement célèbre : il permet de résoudre des équations du troisième degré, ce que la règle et le compas sont incapables de faire ! Mais ce sera pour un prochain article avec la théorie de Galois et les extensions quadratiques.